ANÁLISIS DE ERROR RELATIVO EN MODELOS MUESTREADOS APROXIMADOS

Abstract

Actualmente, la mayor´ıa de los sistemas de control son implementados usando dispositivos digitales. Por esta raz´on, para que los sistemas de tiempo continuo puedan interactuar con los dispositivos digitales se requiere una representaci´on discreta del sistema continuo. Si bien para el caso de sistemas lineales e invariantes en el tiempo es posible obtener un modelo discreto exacto, para otra clase de sistemas encontrar dicho modelo exacto puede ser una tarea dif´ıcil e incluso imposible de realizar. Usualmente, en aplicaciones se utilizan modelos aproximados, a´un en el caso de plantas lineales e invariantes en el tiempo, ya que estos modelos son m´as simples que el modelo exacto y reducen la carga computacional. Un aspecto importante de analizar es la precisi´on de los modelos muestreados aproximados. Este an´alisis es fundamental pues, por ejemplo, existen casos donde un controlador por realimentaci´on del estado dise˜nado en base a un modelo discreto aproximado, causa que el lazo cerrado con el sistema verdadero de tiempo continuo sea inestable, no importando cu´an peque˜no se elija el periodo de muestreo. Cuando se muestrea un sistema de tiempo continuo aparecen los denominados ceros de muestreo. Estos ceros de muestreo son caracter´ıstica del proceso de discretizaci´on y no poseen una contraparte continua en el sistema original. Los ceros de muestreo dependen directamente del tipo de retentor utilizado para generar la entrada y del grado relativo del sistema continuo, y pueden ser exactamente caracterizados a altas tasas de muestreo. En esta tesis se trabajar´a con diferentes esquemas de discretizaci´on. Las diferentes filosof´ıas de aproximaci´on estudiadas son: reeemplazar la derivada continua por aproximaciones de tiempo discreto, incluir ceros de muestreo del caso as´ıntotico y por ´ultimo, truncando la expansi´on de Taylor del sistema continuo representado en variables de estado. En la tesis se caracteriza, en el dominio de la frecuencia, los errores relativos de aproximaci´on que se incurren cuando se utilizan estas estrategias de discretizaci´on aproximadas. La tesis se centra en el caso lineal, pero en las secciones finales se realizan extensiones al caso de sistemas que provienen de ecuaciones diferenciales fraccionarias. Las contribuciones de esta tesis son: (i) caracterizar el m´aximo de los errores relativos, (ii) caracterizar bandas de frecuencia donde cada uno de los diferentes modelos provee mejor presici´on, (iii) en el caso fraccionario se han caracterizado los ceros de muestreo asint´oticos, y (iv) un modelo aproximado de tiempo discreto ha sido propuesto para sistemas fractionarios utilizando el resultado antes mencionado. La conclusi´on fundamental de este trabajo es que si se desea mejorar la precisi´on en altas frecuencias de los modelos aproximados, es necesario incluir de alguna forma el efecto de los ceros de muestreo. Esto es v´alido tanto para sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales derivadas de orden entero y de orden fraccionario, como se explora en las ´ultimas secciones de este trabajo.