Sobre la estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias de tercer orden

Abstract

Cuando de una ecuación diferencial se conoce la solución general, prácticamente todos los problemas que se plantean pueden ser estudiados satisfactoriamente, por ejemplo, sacar conclusiones en cuanto a la estabilidad de las soluciones. Lamentablemente, con la excepción de los casos más sencillos, para la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser hallada su solución en forma explícita. Aún con el uso de los métodos numéricos, los resultados que se pueden obtener son de poco valor, pues el cálculo de una o mil soluciones particulares solo da una idea vaga respecto al comportamiento de todas las trayectorias. Es imprescindible por lo tanto, poder atacar el problema directamente, vale decir, llevar a cabo un estudio, sin la necesidad de resolver la ecuación diferencial. Este problema fue estudiado y solucionado por el matemático A.M. Liapunov que desarrolló dos métodos de análisis para la estabilidad de un sistema de ecuaciones. El primer método que es conocido en la literatura po la Primera Aproximación, consite en aproximar el sistema no lineal por uno lineal, y bajo ciertas hipótesis concluir que las trayectorias de ambos sistemas se comportan de igual forma. En general este análisis es muy laborioso y se restringe a funciones que posean un comportamiento muy regular, por ejemplo que sean analíticas(...).