USO DEL CÁLCULO FRACCIONAL COMO HERRAMIENTA MATEMÁTICA PARA MODELAR FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA DE MATERIA EN MANZANAS

Abstract

El estudio de nuevas metodologías que garanticen la inocuidad manteniendo las propiedades organolépticas de las manzanas es importante para el mercado de los alimentos, como es la deshidratación osmótica. En este trabajo se busca representar el proceso de difusión anómala del azúcar en las manzanas Granny-Smith que ocurre en la deshidratación osmótica mediante cálculo fraccional. Actualmente esta difusión se modela con la ley de Fick, la cual no es representada adecuadamente cuando la difusión es anómala. Además, existe evidencia empírica y teórica de que el cálculo fraccional puede representar estos procesos anómalos. La representación del fenómeno se realiza con dos ecuaciones: la fractional diffusion-wave equation, y con la space fractional diffusion equation. En el primer caso se encuentra una solución analítica al problema expresada en términos de la función fundamental Wright. En el caso de la derivada espacial fraccional no se tiene una solución analítica; sin embargo, se propone una solución numérica innovadora, que utiliza el método Crank-Nicolson para resolver ecuaciones diferenciales parciales con el ajuste de Grúnwald para cálculo fraccional. Estas soluciones fueron ajustadas a datos experimentales de difusión de sacarosa en manzanas Granny-Smith con el fin de obtener los parámetros de orden de derivada y difusividad para este fenómeno. Los promedios del orden de derivada y difusión en el caso de la derivada temporal fueron gas = 0.536 [-] y = 7 1.516 10? ? [m2/s0.536], respectivamente. En el caso del espacio fraccional, los resultados fueron gbs = 1.717 [-] y = 6 2.414 10? ? [m1.717/s]. Esto significa que existe subdifusión de la sacarosa en las manzanas. Estos ajustes se realizaron con el software Matlab. Si bien ambas soluciones presentan mejores resultados que la ley de Fick, un análisis estadístico del ajuste realizado a datos experimentales muestra que la representación con la derivada temporal fraccional es mejor que el caso de la derivada fraccional espacial, probablemente porque se encontró una solución analítica a ésta. Este ajuste presenta menos varianza tanto en el orden de derivada como en la difusividad. Sin embargo, el método numérico utilizado para resolver la derivada fraccional espacial permite considerar una distribución no constante del azúcar inicial, además de una difusión dependiente de la posición. Aun cuando existen varias mejoras que pudiesen hacerse a los métodos de ajuste, tales como aumentar la eficiencia de las rutinas Matlab o encontrar una expresión analítica para la derivada fraccional espacial, los resultados obtenidos demuestran que los modelos fraccionales predicen mucho mejor los perfiles de concentración del azúcar en las manzanas predichos por la ley de Fick.