Aplicación Para Encontrar Sub Variedades Abelianas

Abstract

En el ámbito de la criptografía el mundo se encuentra al borde de un cambio grande. Con el advenimiento de los computadores cuánticos los métodos tradicionales de cifrado que han estado en uso desde hace varias décadas quedarán rápidamente obsoletos. Algunas de las técnicas propuestas para nuevos algoritmos, llamados postcuánticos, utilizan curvas algebraicas de género dos (sobre cuerpos finitos) tales que su variedad Jacobiana es isógena a un producto de (dos) curvas elípticas. Con ello se generalizan métodos que utilizan curvas elípticas (que son curvas algebraicas de género 1 y por ende equivalentes a sus Jacobianas) que están en uso en la actualidad. Un primer paso para construir este tipo de curvas algebraicas es hacerlo sobre el cuerpo de los números complejos. Como las variedades Jacobianas son variedades abelianas, se usa que allí hay teoría para determinar cuándo una variedad abeliana A de dimensión g se descompone como producto de subvariedades abelianas de dimensión menor. En el caso g = 2, como producto de (dos) curvas elípticas. El método que aquí implementamos computacionalmente, usa la matriz de períodos de A para generar un sistema de ecuaciones no lineales en varias variables. La variedad A es isógena a un producto de subvariedades sí y sólo si dicho sistema tiene solución en los racionales. El tamaño del sistema depende de la dimensión g de la variedad A. En el presente documento se trabaja con variedades de dimensión 2; es decir, superficies abelianas, las cuales entregan 4 parámetros de entrada que definen las ecuaciones de un sistema de 6 variables pertenecientes a los racionales y 3 ecuaciones. En este ámbito, para comprobar si una superficie abeliana dada se descompone como un producto de curvas elípticas, se debe resolver sobre los racionales un sistema de ecuaciones dependiente de un grupo de parámetros de entrada, que vienen de la superficie, que lo determina. El tema del trabajo es la búsqueda de soluciones en el dominio de los números racionales para el sistema de ecuaciones determinado por los parámetros entregados en la matriz de períodos de una superficie abeliana A. Se debe encontrar al menos una tupla de valores racionales para que se compruebe que el sistema tiene solución. El trabajo no incluye encontrar esa matriz de períodos, es un dato que se recibe y con el cual se construye y resuelve el sistema. Lo primero que se hizo fue reducir el sistema a una ecuación cuadrática de 3 dimensiones. Una vez realizado esto se demostró que por las propiedades del sistema, esta ecuación cuadrática forma un elipsoide, por lo que el espacio de las soluciones es acotado en los reales. A continuación se ideó un método basado en ”apuntar” el gradiente del sistema de ecuaciones en la misma dirección que los ejes coordenados para calcular los límites del espacio de las soluciones en donde realizar la búsqueda. Luego se explica el proceso de búsqueda en el propio espacio y las dificultades encontradas el implementarlo y al obtener resultados. Este proceso consiste en realizar una subdivisión del espacio tomando muestras de este según un diferencial entre muestras dado por el usuario entre los límites máximos y mínimos de las variables siendo evaluadas. Estas muestras son evaluadas en las ecuaciones para comprobar si el resultado es válido y lo entregan si así lo es. Finalmente se va al detalle del funcionamiento del programa: qué funciones y utilidad entrega, cómo funciona, cómo se usa y qué resultados entregará.In the field of cryptography, the world is on the brink of a big change. With the advent of quantum computers, traditional encryption methods that have been in use for several decades will quickly become obsolete. Some of the techniques proposed for new algorithms, called post-quantum, use algebraic curves of genus two (over finite fields) such that their Jacobian manifold is isogeneous to a product of (two) elliptic curves. With this, methods that use elliptic curves (which are algebraic curves of genus 1 and therefore equivalent to their Jacobian curves) that are in use today are generalized. A first step to build this type of algebraic curves is to do it on the field of Complex Numbers. Since Jacobian manifolds are abelian manifolds, it is used that there is theory to determine when an abelian manifold A of dimension g decays as a product of abelian submanifolds of smaller dimension. In the case g = 2, as a product of (two) elliptic curves. The method that we implement computationally uses the period matrix of A to generate a system of nonlinear equations in several variables. Manifold A is isogenic to a product of submanifolds if and only if said system has a solution in rationals. The size of the system depends on the dimension g of variety A. In this document we work with varieties of dimension 2; that is, abelian surfaces, which provide 4 input parameters that define the equations of a system of 6 variables belonging to the rationals and 3 equations. In this field, to check if a given abelian surface breaks down as a product of elliptic curves, a system of equations dependent on a group of input parameters, which come from the surface, that determines it, must be solved over the rationals. The subject of the work is the search for solutions in the domain of rational numbers for the system of equations determined by the parameters given in the period matrix of an abelian surface A. At least one tuple of rational values must be found in order to prove that the system has a solution. The work does not include finding that period matrix, it is a data that is received and with which the system is built and solved. The first thing that was done was to reduce the system to a 3-dimensional quadratic equation. Once this was done, it was shown that due to the properties of the system, this quadratic equation forms an ellipsoid, so the space of the solutions is bounded in the real numbers. Next, a method based on "pointing"the gradient of the system of equations in the same direction as the coordinate axes was devised to calculate the limits of the space of solutions where to perform the search. Then the search process in the space itself is explained, as well as the difficulties encountered in implementing it and obtaining results. This process consists of carrying out a discrete subdivision of the space, taking samples from it and evaluating them. The differential between samples is given by the user. The samples are taken between the maximum and minimum limits of the variables being evaluated. These samples are then evaluated in the original equations to check if the result is valid and they deliver it if it is. Finally, the details about how the program works: what functions and utility it provides, how it works, how it is used and what results it will deliver.