Análisis y diseño de algoritmos en aritmética exacta para derivadas de orden superior de polinomios exponenciales

Abstract

La derivada de una función es una operación fundamental en matemáticas y se presenta como un desafío computacional cuando el problema se trata de calcular derivadas de orden superior, es decir, aplicaciones sucesivas de la derivada sobre una función. Este trabajo aborda el problema de calcular derivadas de orden superior de un tipo especial de funciones que tienen propiedades matemáticas interesantes y aplicaciones en campos como teoría de ecuaciones diferenciales complejas y teoría de oscilaciones [42]: los polinomios exponenciales. En este trabajo el problema se divide principalmente en dos subproblemas: la optimización del cálculo de la derivada de un polinomio exponencial, enfocándose en analizar los desfíos computacionales involucrados; y el cálculo y evaluación de derivadas de orden superior de polinomios exponenciales. Ambos aspectos se tratan en el marco de la aritmética exacta y tienen como objetivo lograr una computación rápida de derivadas de orden superior de manera exacta. Se realiza un análisis detallado del problema computacional asociado al calculo de derivadas de orden superior en polinomios exponenciales, y se propone un enfoque interdisciplinario que combina técnicas analíticas con métodos numéricos para diseñar e implementar algoritmos capaces de calcular derivadas de orden superior de manera eficiente, explotando la estructura recurrente de las derivadas de polinomios exponenciales y los subproblemas que surgen en su computación. Además, se presenta una aplicación práctica del cálculo y evaluación de derivadas de orden superior de polinomios exponenciales: el Algoritmo de BAKAN, RUSCHEWEYH y SALINAS generalizado [4]. Las principales contribuciones de este trabajo incluyen un análisis del problema computacional de calcular derivadas de orden superior de polinomios exponenciales, el desarrollo de algoritmos para su cálculo y evaluación, y su relación con la combinatoria.