ANÁLISIS DE LA RELACIÓN ENTRE SPLINES, CEROS DE MUESTREO Y ESTRATEGIAS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN MODELOS MUESTREADOS

Abstract

Los sistemas reales son modelados, generalmente, usando las leyes físicas para disear un conjunto de ecuaciones diferenciales, de modo tal que las dinámicas del sistema sean descritas de la manera más precisa posible. Pero, en la práctica, cualquier acción tomada sobre un proceso dado, ya sea medir una serie de datos de salida o actuar sobre cualquiera de sus entradas, será aplicada por un dispositivo digital en instantes de tiempo específicos. Por esto, el estudio de modelos muestreados ha sido de permanente interés para investigadores en control e identificación de sistemas. Es posible obtener modelos muestreados de sistemas de tiempo continuo de diferentes maneras, las cuales dependen en las suposiciones hechas sobre las seales de entrada y salida. Generalmente, estas suposiciones se hacen sobre su comportamiento entre muestras (por ejemplo, constante en el intervalo) o sobre su contenido de frecuencia (por ejemplo, limitado en ancho de banda). Para sistemas lineales es posible obtener modelos muestreados exactos que, sin embargo, poseen en general más ceros que el sistema continuo. Estos ceros se denominan ceros de muestreo. Estos ceros de muestreo no poseen una contraparte continua, sin embargo pueden ser caracterizados, asintóticamente cuando el periodo de muestreo tiende a cero. La presencia de estos ceros de muestreo también ha sido establecida para sistemas estocásticos y en el caso no lineal, la presencia de dinámicas de ceros de muestreo ha sido descrita para modelos muestreados aproximados. En esta tesis se presenta una marco teórico común, en el que es posible interpretar la presencia de estos ceros de muestreo en modelos de tiempo discreto, estableciendo su relación con el uso de B-splines en el retentor usado para generar la entrada de tiempo continuo y la estrategia de integración usada sobre el modelo de tiempo continuo. Si bien existe una amplia literatura referida a modelos muestreados y ceros de muestreo para sistemas lineales, los resultados obtenidos son novedosos y permiten entender la presencia de estos ceros en términos de reconstrucción de seales y estrategias de integración. Adicionalmente, en el trabajo realizado se muestra como las ideas desarrolladas pueden aplicarse a sistemas no lineales para poder obtener modelos muestreados aproximados. En la presente tesis, primero, hacemos explícita la relación que existe entre los ceros de muestreo de los modelos de tiempo discreto y el uso de B-splines para reconstrucción de seales. En particular, se demuestra que cuando una B-spline se usa en un retentor para generar la entrada de tiempo continuo al sistema, existe una relación directa entre el orden de la B-spline y el orden del polinomio que caracteriza los ceros de muestreos asintóticos. Luego se considera la estrategia de integración que reside en el proceso de discretización de un sistema de tiempo continuo. En esta tesis, se demuestra que, cuando se utiliza una B-spline en el retentor para generar la entrada continua, se puede disear una estrategia de discretización basada en las propiedades de suavidad de este tipo de funciones. De hecho, se demuestra que esta estrategia permite recuperar asintóticamente (y exactamente) los ceros de muestreo. Finalmente, se presentan algunas extensiones para sistemas no lineales. Para este tipo de sistemas, se logra recuperar los ceros asintóticos luego de realizar un análisis de dinámicas de cero de muestreo. Estos antecedentes nos entregaran las bases para un futuro desarrollo del tema, y así poder desarrollar una aplicación práctica para sistemas no lineales.