Clasificación de movimientos en el plano proyectivo ideal

Abstract

Asociado a todo Plano Métrico existe el grupo de movimientos del Plano Métrico, uno de los Teoremas fundamentales relacionados con este grupo, el Teorema de Reducción, nos asegura que todo movimiento se puede expresar como el producto de a lo más 3 reflexiones. Por el Teorema fundamental de Bachman todo Plano Métrico se puede sumergir en un plano proyectivo ideal y el grupo de movimientos asociado al plano métrico es isomorfo a un sub grupo del grupo de movimientos del plano proyectivo ideal. El objetivo de este trabajo es generalizar el Teorema de Reducción para planos métricos a los planos proyectivos ideales.- O sea, se demostrará que todo elemento del grupo de movimientos del plano proyectivo ideal se puede expresar como el producto de a lo más 3 homologías involutorias. La demostración del Teorema antes mencionado consta de dos partes: En la primera parte, se demuestra el Teorema para aquellos planos métricos donde el grupo de movimientos del plano métrico es isomorfo al grupo de movimientos del plano proyectivo ideal. En la segunda parte se consideran los planos métricos para los cuales, el grupo de movimientos del plano métrico no es isomorfo al grupo de movimientos del plano proyectivo ideal.- En este caso se analizan separadamente los planos métricos Euclidianos y los no Euclidianos. Para planos métricos Euclidianos en la demostración se utiliza el hecho de que todo plano métrico Euclidiano es sumergible en un plano métrico Euclidiano afin. Para planos métricos no Euclidianos se utiliza el hecho de que asociado a todo plano proyectivo ideal existe un espacio Vectorial de dimensión 3, y en dicho espacio Vectorial se satisfacen las hipótesis del Teorema de J.-Dieudonne - E.Cartan