Browsing by Author "Klein Plarre, Sven Christian"
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Thesis Aplicación Para Encontrar Sub Variedades Abelianas(2024-07) Klein Plarre, Sven Christian; Rojas M., Anita; Departamento de Electrónica; Creixell Fuentes, Werner UweEn el ámbito de la criptografía el mundo se encuentra al borde de un cambio grande. Con el advenimiento de los computadores cuánticos los métodos tradicionales de cifrado que han estado en uso desde hace varias décadas quedarán rápidamente obsoletos. Algunas de las técnicas propuestas para nuevos algoritmos, llamados postcuánticos, utilizan curvas algebraicas de género dos (sobre cuerpos finitos) tales que su variedad Jacobiana es isógena a un producto de (dos) curvas elípticas. Con ello se generalizan métodos que utilizan curvas elípticas (que son curvas algebraicas de género 1 y por ende equivalentes a sus Jacobianas) que están en uso en la actualidad. Un primer paso para construir este tipo de curvas algebraicas es hacerlo sobre el cuerpo de los números complejos. Como las variedades Jacobianas son variedades abelianas, se usa que allí hay teoría para determinar cuándo una variedad abeliana A de dimensión g se descompone como producto de subvariedades abelianas de dimensión menor. En el caso g = 2, como producto de (dos) curvas elípticas. El método que aquí implementamos computacionalmente, usa la matriz de períodos de A para generar un sistema de ecuaciones no lineales en varias variables. La variedad A es isógena a un producto de subvariedades sí y sólo si dicho sistema tiene solución en los racionales. El tamaño del sistema depende de la dimensión g de la variedad A. En el presente documento se trabaja con variedades de dimensión 2; es decir, superficies abelianas, las cuales entregan 4 parámetros de entrada que definen las ecuaciones de un sistema de 6 variables pertenecientes a los racionales y 3 ecuaciones. En este ámbito, para comprobar si una superficie abeliana dada se descompone como un producto de curvas elípticas, se debe resolver sobre los racionales un sistema de ecuaciones dependiente de un grupo de parámetros de entrada, que vienen de la superficie, que lo determina. El tema del trabajo es la búsqueda de soluciones en el dominio de los números racionales para el sistema de ecuaciones determinado por los parámetros entregados en la matriz de períodos de una superficie abeliana A. Se debe encontrar al menos una tupla de valores racionales para que se compruebe que el sistema tiene solución. El trabajo no incluye encontrar esa matriz de períodos, es un dato que se recibe y con el cual se construye y resuelve el sistema. Lo primero que se hizo fue reducir el sistema a una ecuación cuadrática de 3 dimensiones. Una vez realizado esto se demostró que por las propiedades del sistema, esta ecuación cuadrática forma un elipsoide, por lo que el espacio de las soluciones es acotado en los reales. A continuación se ideó un método basado en ”apuntar” el gradiente del sistema de ecuaciones en la misma dirección que los ejes coordenados para calcular los límites del espacio de las soluciones en donde realizar la búsqueda. Luego se explica el proceso de búsqueda en el propio espacio y las dificultades encontradas el implementarlo y al obtener resultados. Este proceso consiste en realizar una subdivisión del espacio tomando muestras de este según un diferencial entre muestras dado por el usuario entre los límites máximos y mínimos de las variables siendo evaluadas. Estas muestras son evaluadas en las ecuaciones para comprobar si el resultado es válido y lo entregan si así lo es. Finalmente se va al detalle del funcionamiento del programa: qué funciones y utilidad entrega, cómo funciona, cómo se usa y qué resultados entregará.
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