Publication: BOUNDARY CONTROLLABILITY, STABILIZATION AND TRACKING PROBLEMS FOR PARABOLIC SYSTEMS
Date
2021-08-31
Authors
HERNÁNDEZ URRUTIA, ESTEBAN
Journal Title
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Publisher
Abstract
La modélisation mathématique a un rôle clé dans la description d’une grande partie
des phénomènes dans les sciences appliquées, les applications technologiques et
industrielles.
Un modèle mathématique est un ensemble de relations mathématiques, généralement
des équations, capables de décrire les caractéristiques essentielles d’un système
naturel ou artificiel, dans le but de décrire, prévoir et contrôler son évolution.
Le but de cette thèse est d’étudier certains problèmes de contrôle dans des modèles
mathématiques régis par des équations différentielles partielles de type parabolique.
Dans le chapitre un on introduit une forme générale, les problèmes ètudiés et les
résultats principause
Au chapitre deux, le modèle à particule unique est utilisé pour décrire le comportement
d’une batterie Li-ion. L’objectif principal est de concevoir un courant d’entrée
de rétroaction afin de réguler l’état de charge, denoté SOC par ses initiales en anglais,
à une trajectoire de référence prescrite. Pour ce faire, nous utilisons la concentration
ionique limite comme sortie. Tout d’abord, nous la mesurons directement puis nous
supposons l’existence d’un estimateur approprié, qui a été établi dans la littérature à
l’aide de mesures de tension. En appliquant la méthode de backstepping et les outils
Lyapunov, nous sommes en mesure de construire des observateurs et de concevoir des
contrôleurs de retour de sortie donnant une réponse positive au problème de suivi
du SOC. Nous fournissons des preuves de convergence et effectuons des simulations
numériques pour illustrer nos résultats théoriques.
Le chapitre trois est consacré à l’étude de la propriété de contrôlabilité frontière
de certains systèmes paraboliques-elliptiques. Plus précisément, tout au long
de ce chapitre, nous prouvons la propriété de contrôlabilité nulle pour deux systèmes
paraboliques-elliptiques unidimensionnels. Les deux équations sont sous l’action d’un
contrôle scalaire à la frontière. Dans un premier cas, nous étudions la contrôlabilité
nulle pour un système avec un terme non linéaire dans la partie parabolique avec
un contrôle placé à la frontière de l’équation parabolique. Dans un second cas, nous
étudions un système linéaire avec le contrôle placé aux bords de l’équation elliptique.
Les arguments, dans le premier cas, reposent sur le principe de dualité contrôlabilitéobservabilité
et une estimation de Carleman appropriée pour la solution de l’équation
adjointe du système linéarisé. Ensuite, au moyen d’un théorème inverse local, nous
prouvons le résultat pour le systeme non linéaire original. Pour le second cas, nous
utilisons la méthode des moments et l’analyse spectrale de l’opérateur spatial sousjacent
associé à un tel système.
Au chapitre quatre, nous abordons le problème de la stabilisation rapide d’une
équation de chaleur instable unidimensionnelle sous l’action d’une perturbation inconnue.
En combinant la méthode de backstepping et l’opérateur à valeurs multiples
sign(.), nous concevons une loi de rétroaction qui stabilise exponentiellement le système,
dans la norme L2. De plus, le taux de décroissance peut être fixé arbitrairement
grand. L’existence de solutions du système en boucle fermée est obtenue en utilisant
la théorie des opérateurs monotones maximaux et des simulations numériques sont
effectuées afin d’illustrer nos résultats.
Enfin, au chapitre cinq, nous rassemblons quelques conclusions et remarques sur
les chapitres précédents. En outre, nous discutons de certaines questions en ouvertes
et de recherches futures, pour chacun de ces problèmes.
Description
Keywords
MONOTONES MAXIMAUX. , PROBLÈME DE POURSUITE , ESTIMATIONS CARLEMAN