Identification methods for dynamical systems subject to non-gaussian disturbances

Abstract

En esta tesis se aborda el problema de identificación de sistemas dinámicos sujetos a perturbaciones no gaussianas. Estas perturbaciones pueden aparecer por varias razones, principalmente porque las fuentes de ruidos que afectan al sistema son no gaussianas o porque existen no linealidades en el sistema que producen este tipo de distribuciones en la evolución del sistema dinámico. En este trabajo, se desarrollan métodos y algoritmos de identificación de sistemas y estimación de estados para algunos tipos de sistemas dinámicos en los que se tiene que lidiar con distribuciones no gaussianas. Se consideran sistemas lineales en espacio de estados sujetos a perturbaciones no gaussianas, sistemas lineales gaussianos en espacio de estados con no linealidades en la salida y sistemas con errores en las variables. La idea clave con la que se desarrollan estas metodologías está basada en el Teorema de aproximación Tauberiana de Wiener que establece que cualquier función de densidad de probabilidad con soporte compacto se puede aproximar tanto como se desee mediante una combinación lineal de otras densidades que tienen traslación, por ejemplo, las densidades gaussianas. En la primera parte de esta Tesis se considera un sistema lineal en espacio de estados sujeto a perturbaciones no gaussianas, cuya distribución se modela usando una suma de densidades gaussianas. Con base en el enfoque de máxima verosimilitud, se diseña un método para identificar los parámetros del sistema y los parámetros del modelo de suma de gaussianas. El problema de estimación por máxima verosimilitud se plantea como un problema de optimización que se resuelve usando el algoritmo esperanza-maximización para sistemas en espacio de estados. En este algoritmo se plantea una función auxiliar que involucra el cálculo de las funciones de densidad de los estados del sistema condicionados al conjunto total de datos disponibles, es decir, distribuciones de suavizado. Por esta razón, se implementan algoritmos de filtraje y suavizado para sistemas con ruidos suma de gaussianas. En la segunda parte de esta Tesis se consideran sistemas lineales en espacio de estados sujetos a cuantización en la salida. Debido al cuantizador, las distribuciones de suavizado son no gaussianas, lo que produce una alta complejidad para abordar el problema de identificación y estimación de estados. Para tratar con la cuantización en los datos, se propone en esta Tesis un modelo con estructura de suma de gaussianas que modela la función de probabilidad de la salida cuantizada condicionada a los estados del sistema. Con este modelo, se diseñan algoritmos de filtraje y suavizado adecuados para tratar con datos cuantizados y se diseña un método de identificación de parámetros usando máxima verosimilitud y el algoritmo esperanzamaximización para obtener los parámetros del sistema y caracterizar los ruidos de estados y de salida. En la tercera parte de esta Tesis se consideran sistemasWiener en espacio de estados, que consisten en un bloque con un sub-sistema dinámico lineal seguido por un bloque con una no linealidad estática en la salida. Se considera que la no linealidad de la salida puede tomar cualquier forma, pero su dominio es tal que puede dividirse en un número finito de intervalos, en donde es estrictamente monótona (el cuantizador no entra en esta categoría). Para tratar con este tipo de no linealidades, en este trabajo se propone un modelo con estructura de suma de gaussianas para la función de probabilidad de la salida no lineal condicionada a los estados del sistema. Esto permite diseñar algoritmos de filtraje y suavizado para este tipo de no linealidades en la salida, lo que a su vez permite plantear un algoritmo de identificación para obtener los parámetros del sistema, caracterizar los ruidos de estado y de salida, obtener una estimación de la no linealidad de salida, y caracterizar el ruido de medición. Este método de identificación se basa en el enfoque de máxima verosimilitud y el correspondiente problema de optimización se resuelve usando el algoritmo esperanzamaximización. Finalmente, en la cuarta parte de esta Tesis se consideran sistemas con errores en las variables, sistemas en los cuales tanto la entrada como la salida se miden con errores. Se diseña un algoritmo para identificar los parámetros de un sistema estático y luego se extiende para sistemas dinámicos, particularmente se considera un modelo tipo respuesta finita al impulso. La metodología propuesta se basa en el enfoque de máxima verosimilitud y el algoritmo esperanza-maximización. Con el método propuesto se obtienen estimaciones de los parámetros del sistema, se caracterizan los ruidos de medición de la entrada y de la salida, y se obtiene la distribución no gaussiana de la entrada libre de ruido como un modelo de suma de gaussianas.