Publication:
BOUNDARY CONTROLLABILITY, STABILIZATION AND TRACKING PROBLEMS FOR PARABOLIC SYSTEMS

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Date
2021-08-31
Authors
HERNÁNDEZ URRUTIA, ESTEBAN
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Abstract
La modélisation mathématique a un rôle clé dans la description d’une grande partie des phénomènes dans les sciences appliquées, les applications technologiques et industrielles. Un modèle mathématique est un ensemble de relations mathématiques, généralement des équations, capables de décrire les caractéristiques essentielles d’un système naturel ou artificiel, dans le but de décrire, prévoir et contrôler son évolution. Le but de cette thèse est d’étudier certains problèmes de contrôle dans des modèles mathématiques régis par des équations différentielles partielles de type parabolique. Dans le chapitre un on introduit une forme générale, les problèmes ètudiés et les résultats principause Au chapitre deux, le modèle à particule unique est utilisé pour décrire le comportement d’une batterie Li-ion. L’objectif principal est de concevoir un courant d’entrée de rétroaction afin de réguler l’état de charge, denoté SOC par ses initiales en anglais, à une trajectoire de référence prescrite. Pour ce faire, nous utilisons la concentration ionique limite comme sortie. Tout d’abord, nous la mesurons directement puis nous supposons l’existence d’un estimateur approprié, qui a été établi dans la littérature à l’aide de mesures de tension. En appliquant la méthode de backstepping et les outils Lyapunov, nous sommes en mesure de construire des observateurs et de concevoir des contrôleurs de retour de sortie donnant une réponse positive au problème de suivi du SOC. Nous fournissons des preuves de convergence et effectuons des simulations numériques pour illustrer nos résultats théoriques. Le chapitre trois est consacré à l’étude de la propriété de contrôlabilité frontière de certains systèmes paraboliques-elliptiques. Plus précisément, tout au long de ce chapitre, nous prouvons la propriété de contrôlabilité nulle pour deux systèmes paraboliques-elliptiques unidimensionnels. Les deux équations sont sous l’action d’un contrôle scalaire à la frontière. Dans un premier cas, nous étudions la contrôlabilité nulle pour un système avec un terme non linéaire dans la partie parabolique avec un contrôle placé à la frontière de l’équation parabolique. Dans un second cas, nous étudions un système linéaire avec le contrôle placé aux bords de l’équation elliptique. Les arguments, dans le premier cas, reposent sur le principe de dualité contrôlabilitéobservabilité et une estimation de Carleman appropriée pour la solution de l’équation adjointe du système linéarisé. Ensuite, au moyen d’un théorème inverse local, nous prouvons le résultat pour le systeme non linéaire original. Pour le second cas, nous utilisons la méthode des moments et l’analyse spectrale de l’opérateur spatial sousjacent associé à un tel système. Au chapitre quatre, nous abordons le problème de la stabilisation rapide d’une équation de chaleur instable unidimensionnelle sous l’action d’une perturbation inconnue. En combinant la méthode de backstepping et l’opérateur à valeurs multiples sign(.), nous concevons une loi de rétroaction qui stabilise exponentiellement le système, dans la norme L2. De plus, le taux de décroissance peut être fixé arbitrairement grand. L’existence de solutions du système en boucle fermée est obtenue en utilisant la théorie des opérateurs monotones maximaux et des simulations numériques sont effectuées afin d’illustrer nos résultats. Enfin, au chapitre cinq, nous rassemblons quelques conclusions et remarques sur les chapitres précédents. En outre, nous discutons de certaines questions en ouvertes et de recherches futures, pour chacun de ces problèmes.
Description
Keywords
MONOTONES MAXIMAUX. , PROBLÈME DE POURSUITE , ESTIMATIONS CARLEMAN
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