ESTUDIO NUMÉRICO DE FLUJO DE STOKES EN 2-D, USANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS DE BORDE ACELERADO CON ALGORITMOS DE MULTIPOLOS RÁPIDOS, CON APLICACIONES EN BIOFÍSICA

Abstract

Con el propósito de estudiar el flujo al rededor de partículas biológicas, se determinaron cuales son las condiciones más comunes a las cuales se enfrenta este tipo de fenómenos. De esto se estableció que, producto de la escala de tamaños de estas partículas, las condiciones más comunes corresponden a las de flujo viscoso a bajo numero de Reynolds. Para dicha condición, el modelo matemático capaz de representarlo es la ecuación de Stokes. Para desarrollar un algoritmo capaz de resolver la ecuación de Stokes en 2-D, se expusieron las características principales de dicho modelo matemático. En cuanto al modo de resolución de dicha ecuación, se optó por la implementación de un esquema numérico conocido como el método de elementos de borde. Presentamos las principales directrices para la implementación del método, como por el ejemplo, el transformar la ecuación diferencial en una ecuación integral y posteriormente, por medio de la función de Green, llegar a la expresión de integral de frontera de dicha ecuación. La implementación del BEM provoca que los tiempos de calculo crezcan respecto a una complejidad algorítmica de orden O(n2). Con el objetivo de reducir esta complejidad, introducimos al código un algoritmo acelerado conocido como el método de multipolos rápidos (FMM), en particular, una versión de este método que no requiere el conocimiento previo del kernel de operación conocidas como Black Box FMM o BBFMM, la cual fue importada de una librería externa creada en C++ [7]. Por medio de esta adaptación observamos como la complejidad pasa de O(n2) a O(n). Finalmente, aplicamos el código para realizar estudiar el flujo alrededor de un glóbulo rojo. Probamos con dos posibles geometrías adoptadas por la célula, la de disco bicóncavo (lo normal para un eritrocito) y elíptica. Observamos que los esfuerzos de corte se distribuyen de forma focalizada en ciertas regiones del eritrocito normal mientras que en un ovalocito estos esfuerzos se distribuyen de forma más homogénea. En cuanto a los campos de velocidad y presión al rededor de estas estructuras, vemos que no existen desprendimientos en la capa limite ni cambios muy bruscos en los perfi les, esto debido a la condición de bajo numero de Reynolds lo cual implica que el flujo sea laminar en el perfil.

With the aim to study the ow around biological particles, were determine which was most commonly condition faced this kind of phenomena. Of this was established that, by the size of this particle, the condition is viscous flow at low Reynolds number. For this condition, the mathematical model to allow represent is the Stokes equation. To develop an algorithm capable to solve the 2-D Stokes equation, we show the main characteristic of the mathematical model. Regarding the way to solve said equation, it was chosen the implementation of a numerical squeme knows as the Boundary Element Methods. We present the main guidelines to implementate the method, for example, transform the diferential equation in a integral equation and next, through the Green function, get to the expresion of the boundary integral of said equation. The BEM implementation provoque that the calculation time grow up respect an algorithmic complexity of order O(n2). With the objective to reduce that complexity, we introduce to the code an speed-up algorithm know as Fast Multipole Method (FMM), in particular, a version of this method that not need a previos knowledge of the operation kernel know as Black Box FMM or BBFMM, wich was imported of a extern librery writed on C++[7]. Through of this adaptation we see how the complexity reduce from O(n2) to O(n). Finally, we apply the code to study the ow around a red blood cell. We prove with two possible geometric adopted by the cell, the biconcave disc (normal for a erythrocyte) and elliptic. We saw that the shear stress are distributed in a focused way in some regions of the erythrocyte meanwhile in the ovalocyte this stress are distributed of more homogeneus way. As for the velocity and presure fi eld around of this structure, we see that doesn't exist detachment in the boundary layer or dramatical changes on the outlines, this is product of the low Reynolds number condition which implies that the flow is laminar in the profile.